免责声明：
我已经尽量简化了，由于观看本节内容导致的头晕、脱发、恶心、呕吐等生理症状，本人概不负责
在现实世界中，小数的书写方式非常自然，只需要使用.即可代表之后的数字全是小数，例如3.1415926
但是计算机存储小数的时候，麻烦就来了。
比如3.14，整数部分的 二进制 是11，小数部分的二进制是1011，合在一起就是111011，你能说这个数是3.14吗？
问题的根源就在它难以准确的表述小数点的位置。
因此，必须另寻他法。
浮点数 基本概念
聪明的人想出了一个巧妙的办法
在现实世界中，任何数字都可以表示为a.xxxx * 10^na.xxxx∗10n，其中，a的取值范围是1~9
这叫做科学计数法
比如：
1024.5678 = 1.0245678 * 10^31024.5678=1.0245678∗103，它表示，1.0245678的小数点向右移动3位，即最终的十进制小数
952.7 = 9.527 * 10^2952.7=9.527∗102，它表示，9.527的小数点向右移动2位，即最终的十进制小数
那二进制是否也可以这样表示呢？
当然可以，在二进制的世界中，任何数字（包括整数）都可以表示为a.xxxx * 2^na.xxxx∗2n，a只能取1
比如：
110.101 = 1.10101 * 2^2110.101=1.10101∗22，它表示，1.10101的小数点向右移动2位，即最终的二进制小数
0010.00011 = 1.000011 * 2^10010.00011=1.000011∗21，它表示，1.000011的小数点向右移动1位，即最终
的二进制小数
可以看出，二进制如果也使用科学计数法，以下东西都是固定的：
底数2
整数部分1
而不固定的部分是：
指数部分
尾数部分（小数点后面的部分）
因此，我们可以使用下面的方式来表示一个数字
第一部分第二部分第三部分
符号 阶码 尾数
0为正，1为负 这部分表示指数部分 这部分表示小数点后面的部分
这种表示数字的方法，叫做 浮点数表示法
比如，110.101 = 1.10101 * 2^2110.101=1.10101∗22，改数字的符号是0，阶码是2，阶码的二进制格式是10，尾数是10101，因此，在计算机中可以用浮点数表示为：
符号阶码尾数
0 10 10101
是不是很简单。
但这样一来，容易导致 CPU 搞不清楚阶码和尾数是在哪里分割的，我们可以轻松的从表格中看出，但计算机哪有什么表格，它是存在一起的：01010101
为了解决这个问题，阶码和尾数的长度就必须固定
比如，阶码的长度规定为3，尾数的长度规定为4，加上一个符号位，刚好是8位，一个字节
如果按照这种约定，计算机就可以轻松的取出第一个符号位，然后轻松的取出后三位阶码，继续取出后四位的尾数
符号（1）阶码（3）尾数（4）
0 010 1010
可以看到，这种情况下，尾数的最后一位被丢弃了，从10101变成了1010，因为它只能存储4位。
所以，使用浮点数存储数字时，可能导致存储的数字不精确
以上，就是浮点数存储数字的方式。
数字到浮点数的转换
我们知道，二进制科学计数法是浮点数的基石，只要有了二进制的科学计数法，就可以变成浮点数的存储了。
然而，我们平时接触更多的是十 进制 的小数
现在的问题是：如何把十进制的小数转换为浮点数的科学计数法？
下面将一步一步进行分析
二进制小数到十进制小数
要理解十进制小数是如何转换成二进制小数的，就必须要先理解相反的情况：二进制小数是如何转换成十进制小数的。
我们知道，任何一个十进制的小数（包括整数）都可以书写为下面的格式：
21.25 = 2 * 10^1 + 1 * 10^0 + 2 * 10^{-1} + 2 * 10^{-2}21.25=2∗101+1∗100+2∗10−1+2∗10−2
二进制的小数也可以用同样的规则，只不过把底数10换成底数2
下面的示例就是把一个二进制小数11.01转换成了十进制小数3.25：
11.01_2 = 1 * 2^1 + 1 * 2^0 + 0 * 2^{-1} + 1 * 2^{-2} = 3.25_{10}11.012=1∗21+1∗20+0∗2−1+1∗2−2=3.2510
十进制小数到二进制小数
知道了二进制小数转十进制，反过来也是一样的
省略了具体的数学推导（数学好的朋友自行完成），我们按照下面的方式来转换
比如十进制数3.25
首先转换整数部分：
3_{10} = 11310=11
整数部分的转换在之前的章节已经说的很详细了，不再重复
然后转换小数部分
现有小数乘以2取整数部分
0.25 0.5 0
0.5 1 1
0 不再处理 不再处理
最终得到的二进制小数部分是01，即把每次取整部分从上到下依次罗列即可
0.25_{10} = 0.01_20.2510=0.012
把最终的整数部分加入进去，就形成了
3.25_{10} = 11.01_{2}3.2510=11.012
无法精确转换
有的时候，这种转换是无法做到精确的
比如0.3这个十进制数，转换成二进制小数按照下面的过程进行
现有小数乘以2取整数部分
0.3 0.6 0
0.6 1.2 1
0.2 0.4 0
0.4 0.8 0
0.8 1.6 1
0.6 1.2 1
0.2 0.4 0
0.4 0.8 0
0.8 1.6 1
0.6 1.2 1
… … …
0.3_{10} = 0.0 1001 1001 1001 1001 … = 0.0\overline{1001}0.310=0.01001100110011001…=0.01
在转换的过程中，可能导致十进制的现有小数永远无法归零，于是转换成了一个无限的二进制小数。
同时，计算机无法存储一个无限的数据，因此，总有一些数据会被丢弃，这就造成了计算机存储的小数部分可能是不精确的
进一步，如果一个小数无法精确的存储，那么他们之间的运算结果也是不精确的
这就是计算机对小数的运算不精确的原因
// js语言中运行5.3 – 5.2 // 得到0.09999999999999964
转换成二进制的科学计数
现在，按照以上所述的规则，我们已经可以轻松的把一个十进制的数字转换成二进制格式了
然后，我们再在它的基础上，把它变化为二进制的科学计数格式
3.25_{10} = 11.01_2 = 1.101 * 2^13.2510=11.012=1.101∗21
注意，1.101 * 2^11.101∗21是二进制的科学计数表示，你并不能把它当成十进制的方式运算，如果你要将其转换成十进制，应该：
将1.101的小数点向右移动1位，得到11.01
$11.01 = 1
2^1 + 1
2^0 + 0
2^{-1} + 1
2^{-2} = 3.25$
当我们拿到这个数的二进制科学计数后，就可以轻松的将其存储下来了
3.25 = 11.01 = 1.101 * 2^1 = 1.1010 * 2^13.25=11.01=1.101∗21=1.1010∗21的存储
因为尾数是4位，所以不足在后面补0
符号（1）阶码（3）尾数（4）
0 001 1010
然而
请允许我做一个悲伤的表情
还有一种情况没有考虑到…
指数偏移量
建议先读完本节内容，然后再反复推理和思考
我们来聊一聊还有什么情况没有考虑到
现在，我们有一个十进制的数字0.25，它转换成二进制的格式应该是0.01， 科学计数法表示 的结果是1*2^{-2}1∗2−2，即小数点应该向左移动2位
现在的问题是，指数部分出现了负数！
注意，不是数字是负数，是指数是负数
问题在于，我难道对指数也要使用一个符号位来处理负数的情况吗？
实际上没有必要，在计算机运算浮点数时，对于指数部分，更多的操作是比较，即比较两个指数哪个大
如果使用符号位的话，在比较时就必须考虑符号的问题，这样会给比较带来很多麻烦
因此，IEEE 754规定，使用指数偏移量来处理这个问题
IEEE 754是对浮点数存储、运算的国际标准，绝大部分计算机语言的浮点数都遵循该标准
它规定，如果一个浮点数的指数位数为ee，则它的指数偏移量为2^{e – 1} – 12e−1−1，不管存储什么指数值，都需要加上这个偏移量后再进行存储。
比如，指数的位数是3，则指数的偏移量为2^{3-1} – 1 = 323−1−1=3，当存储指数-2时，需要加上偏移量3再进行存储，因此，指数-2实际上存储的是1，即001
再比如，当存储指数2时，需要加上偏移量3再进行存储，因此，指数2实际上存储的是5，即101
如果比较-2和2哪个大，就直接比较两个二进制即可，001显然比101要小，指数部分完全没有符号位，这样比较起来就轻松多了。
当然，当需要还原它的真实指数时，只需要减去偏移量即可
于是，有了这样的规则后：
0.25_{10} = 0.01_2 = 1.0000 * 2^{-2}0.2510=0.012=1.0000∗2−2
符号（1）阶码（3）尾数（4）
0 001 0000
3.25_{10} = 11.01_2 = 1.1010 * 2^13.2510=11.012=1.1010∗21
符号（1）阶码（3）尾数（4）
0 100 1010
由于有了偏移量的存在，浮点数的指数范围就可以很轻松的算出来了
最小能存储的指数是000，减去偏移量后真实的指数是-3
最大能存储的指数是111，减去偏移量后真实的指数是4
稍微的总结一下，就是：
阶码为n位的 浮点 数，指数的真实范围是-2^{n-1}+1−2n−1+1 到 2^{n-1}2n−1
特殊值
在浮点数的标准中，有下面两个特殊值：
NaN ：Not a Number，表示不是一个数字，它通常来自一些错误的运算，比如
3.14 * “你好”
Infinity：正向的无穷大，相当于数学中的
\infty
∞
-Infinity：负向的无穷大，相当于数学中的
-\infty
−
∞
为了表示这三个值，IEEE 754标准规定，当使用一种特殊的数字存储来表示：
NaN
符号（1）阶码（3）尾数（4）
无所谓
比如：
符号（1）阶码（3）尾数（4）
0 111 1010
上面这个数字可不是1.1010*2^{4}1.1010∗24，它是一个NaN
无穷
符号（1）阶码（3）尾数（4）
0：正无穷，1：负无穷 111
比如：
符号（1）阶码（3）尾数（4）
0 111 0000
上面这个数字可不是1.0000*2^{4}1.0000∗24，它是一个Infinity
由于特殊值的存在，让阶码的最大值用于表示特殊值，因此，正常的数字阶码是不能取到最大值的
因此，正常数字的阶码取值范围少了一个：-2^{n-1}+1−2n−1+1 到 2^{n-1} – 12n−1−1
比如，3位的阶码，它能表示的正常指数范围是-3到3
单精度和双精度
很多计算机语言中都有单精度和双精度的概念，它们的区别在于阶码和尾数的位数是不一样的
Java 的 float 是单精度浮点数，double是双精度浮点数
JS的所有数字均为双精度浮点数
类型符号阶码尾数共计
单精度 1位 8位 23位 32bit，4 byte
双精度 1位 11位 52位 64bit，8byte
总结
由于浮点数这种特别的存储方式，因此，不同的阶码和尾数的位数，决定了：
阶码位数越多，可以取到的指数越大，因此可以表示的数字越大
尾数位数越多，可以表示的数字位数越多，因此可以表示的更加精确
