在信息安全领域，经常需要用到一些大素数，比如著名的 RSA算法 就必须依赖到两个大素数。幸运的是自然数中素数还真不少(很简单就能证明素数有无穷多个)，而且密度也不算低，所以找到一个素数不是那么难，但让你找一个能用在RSA算法里的素数就比较难了。

暴力试除

试想下，如果现在让你去寻找出一个素数，你会怎么办？记得刚上大学刚学会C语言基本语法后，有道课后题就是 判定一个数是否是素数 ，具备基本编程能力的人一定能写出如下代码：

 boolean checkPrime(int n) {
    for (int i = 2; i*i <= n; i++) {
        if (n%i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}  

素数判定最简单的方法就是试除，也就是上面代码。它的原理是从2到根号n，看n是否能被某个数除尽，如果能那n肯定不是素数，反之一定是素数。这确实是个简单粗暴且正确的方法，唯一的问题是它太慢了，判定一个数的时间复杂度是O(n)。如果让你用这种方法去判断一个几百位的数是否是素数，那可能用现在最先进的计算机，也需要n多年才能算出来。

筛选法

当然素数判定还有一个更快的批量判定算法—— 埃氏筛选 ，他找到n以内的所有素数只需要 O(n log log n) 的时间复杂度。

其原理是这样的，设置一个标记数组，开始先把2的所有倍数都标记了，然后往后走发现3没有被标记，那3肯定是个素数，然后在标记数组中把所有3的倍数标记掉，然后发现4已经被标记了 跳过，到5……，直到标记完所有数字，那么剩下未标记的数字就是素数了，见上图，代码如下：

 int[] signs = new int[n+1];
void eratosthenes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (signs[i] == 0) {
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                signs[j] = 1;
            }
        }
    }
}  

埃氏筛选法虽然看起来比较快，但他也有自己的问题。首先他只能批量，对单个的n判定时也是需要筛出所有小于n的素数的。其次，它还需要依赖存储空间来存储标记。所以它仍然无法被用在超大素数的判定上。

有没有更快找到一个素数的方法？自从中世纪以来，有好多的数学家都在致力于寻找传中的素数公式。比如欧拉在1772年发现，$f(n) = n^2 + n + 41$ 当n小于41时 f(n)的值都是素数，虽然后来也有数学家相继发现了能生成更大素数的公式，但这些公式能生成的数依旧是很有限的。到了 高斯 时代，基本上确认了简单的质数公式是不存在的，因此，高斯认为对素性判定是一个相当困难的问题。

费马 小定理

然而，事情总是有转机的。让我们一起回到1636年，著名数学家费马在一封信中写出这样一个公式。

后来证明a不是p的倍数这个条件不是必须的。 这个定理的含义就是只要p是素数，那么$(a^(p-1))mod p$恒等于1，这就是著名的费马小定理。可能你已经在想，能不能用这个定理来判定素数，确实 费马小定理反过来也几乎是成立的 ，如果一个数p能使得a^(p-1) ≡ 1(mod p)，p有很大概率是个素数， 注意这里是几乎成立。

 public class PrimeNumCheck {
    public static boolean check(long a, long p) {
        long res = fastMod(a, p-1, p);
        return res == 1;
    }

    public static long fastMod(long x, long n, long m) {
        if (n == 1) {
            return x % m;
        }
        long tmp = fastMod(x, n>>1, m);
        if (n % 2 == 0) {
            return (tmp * tmp) % m;
        } else {
            return (tmp * tmp * x) % m;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(check(2, 7));
    }
}  

用如上Java代码，可以快速的概率性判定一个数是否是素数（判定结果不是100%准确），这也取决于上述代码中a的选择。上面用到了快速幂算法，能将对一个数的n次幂取模的时间复杂度降到O(logn)。我们似乎可以将素数的判定时间复杂度从O(n)降低到O(logn)，这是质的飞跃，从原来的几乎不可计算变为可计算，这才为大素数的应用铺平了道路。

但是别急，它还有些小缺陷。我刚说了费马小定理反过来是几乎成立的，我一直在强调 几乎 二字。因为有些和数n也能使得$a^(n-1) ≡ 1(mod n)$成立，这些使得$a^(n-1) ≡ 1(mod n)$的合数被称为基于a伪素数，比如前几个基于2的 伪素数 分别是341、561、645……。不过这种伪素数也非常少，实际上， 对于一个512位的数，其中基于2的伪素数不到1/10^20 ，如果是1024位的数的话，伪素数概率就只有不到1/10^41了。这个概率究竟有多低，举个例子，你能随机找到一个512位基于2的伪素数的概率比你中五百万大奖的概率都小。 所以你是随机找一个素数，基于2的费马小定理判定已经足够用了。

当然如果你非要追求更高准确率的话，还是可以优化的，毕竟基于2的伪素数并不一定是基于其他a的伪素数，所以我们 可以多换几个不同的a来进一步提升上述代码的准确性。 但历史告诉我们凡事总有意外。有些合数对于任意的a都能使得 费马定理 成立，这些数被称为卡迈克尔数(Carmichael Number)，前几个卡迈克尔数分别是561 1105 1729…… 关于卡迈克尔数又是另一个故事了。

小结

费马小定理这种概率性的解法给了我们解决问题的一种新思路，就好比用布隆过滤器一样，它们都不是百分百准确，但可以在准确性可控的情况下得到更高效的解决方案。 计算机的世界不仅可以用空间换时间，还可以用准确率换时间。

像费马定理这种神奇的数学定理，我感觉这似乎是上帝在造物时埋下的一个关于数字的小彩蛋，而我也坚信这种小彩蛋还有很多，没准那天我们可以发现上帝隐藏在 圆周率 里的笑话呢！！

参考资料

• 维基百科 素数测试
• 维基百科 埃氏筛选 Sieve of Eratosthenes
• 维基百科 卡迈克尔数
• 《算法导论》 第31章 素数测试
  

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