引入：

二分法思想无处不在，我们经常玩的猜数字游戏，0-99的范围，最多需要多少次我就可以猜对呢？

使用二分法思想，最多仅仅需要7次就可以查找到。

二分法查找是非常恐怖的，以2的倍数缩小范围。所以时间复杂度O(logn)

局限性：

1.针对二分法查找的数据必须是有序的。

2.二分法查找依赖于顺序表结构，也就是数组。因为二分法需要随机访问元素，也就是O(1)的复杂度找到对象，所以需要内存连续。如果使用链表，那么时间复杂度就会变得非常高

3.适合静态数据，不适合频繁的插入和删除操作的数据所以当数据比较静态，没有频繁的插入和删除的操作的时候，可以先对数据进行排序，排序时间复杂度最低O(nlogn)

例子：

求一个数的平方根，可以指定精度。

从二分法的思想就是不断的范围缩减，所以代码实现上可以有通过递归的方式和非递归的方式实现。

  class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            var data = GetSS(4, 0.00000001);
           Console.WriteLine(data*data);
        }

        /// <summary>
        /// 获取平方根
        /// </summary>
        /// <param name="input">输入值</param>
        /// <param name="jd">精度</param>
        /// <returns></returns>
        public static  double GetSS(double input, double jd)
        {
            double low = 0;
            double  high = input;
            double middle = low + (high - low) / 2;
            while ((high - low) > jd)
            {

                if (input > middle * middle)
                {
                    low = middle;
                }
                else
                {
                    high = middle;
                }
                middle = low + (high - low)/2;
                Console.WriteLine(high - low);
            }

            return middle;
        }

    }  

问题深入

上面的使用二分法查找都是最简单的情况，也就是数据不存在重复的情况下，但是数据如果存在重复的情况下，会出现其他的变种的需求;

(1)查找第一个元素等于给定值的元素

 static void Main(string[] args)
        {
            var a = new[] { 1,2,8,8,8,8,8,8,11,13,18};

            Console.WriteLine(GetValue(a, a.Length,8));
        }
        public static int GetValue(int[] a,int n ,int value)
        {
            var low = 0;
            var high = n - 1;
            while (low <= high)
            {
                int middle = low + ((high - low) >> 1);
                if (a[middle] > value)
                {//因为不包含等于，可以多递增一个数
                    high = middle-1;
                }
                else if (a[middle] < value)
                {
                    low =middle+1;
                }
                else
                {
                    if (middle == 0 || a[middle - 1] != value)
                    {
                        return middle;
                    }
                    else
                    {
                        //因为是查找第一个所以将high赋值middle-1
                        high = middle-1;
                    }
                }
            }
            return -1;
        }  

上面的代码就是当a[middle]=value的时候，需要判断一下middle-1的值是否是指定值。

（2）查找最后一个等于给定值的元素。

这个就比较简单了，只要在第一个的基础上稍作修改即可

 public static int GetValue(int[] a, int n, int value)
        {
            var low = 0;
            var high = n - 1;
            while (low <= high)
            {
                int middle = low + ((high - low) >> 1);
                if (a[middle] > value)
                {//因为不包含等于，可以多递增一个数
                    high = middle - 1;
                }
                else if (a[middle] < value)
                {
                    low = middle + 1;
                }
                else
                {
                    if (middle == 0 || a[middle +1] != value)
                    {
                        return middle;
                    }
                    else
                    {
                        low = middle + 1;
                    }
                }
            }
            return -1;
        }  

（3）查找第一个大于等于给定值的元素

  public static int GetValue(int[] a, int n, int value)
        {
            var low = 0;
            var high = n - 1;
            while (low <= high)
            {
                int middle = low + ((high - low) >> 1);
                if (a[middle] >= value)
                {//因为不包含等于，可以多递增一个数
                    if (middle == 0 || a[middle - 1] < value)
                    {
                        return middle;
                    }
                    else
                    {
                        high = middle - 1;
                    }
                }
                else
                {
                    low = middle + 1;
                }
               
            }
            return -1;
        }  

（4）查找最后一个小于等于给定值的元素

 public static int GetValue(int[] a, int n, int value)
        {
            var low = 0;
            var high = n - 1;
            while (low <= high)
            {
                int middle = low + ((high - low) >> 1);
                if (a[middle] > value)
                {//因为不包含等于，可以多递增一个数
                    
                        high = middle - 1;
                }
                else
                {
                    if (middle == 0 || a[middle + 1] > value)
                    {
                        return middle;
                    }
                    else
                    {
                        low = middle +1;    
                    }
                }

            }
            return -1;
        }