一、 红黑树 的性质
红黑树是每个节点都带有 颜色 属性的二叉查找树，颜色为 红色 或 黑色 。在二叉查找树强制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:
性质1. 节点是红色或黑色。
性质2. 根是黑色。
性质3. 所有叶子都是黑色（叶子是NIL节点）。
性质4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
性质5. 从任一节点到其每个叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点。
这些约束强制了红黑树的关键性质: 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长（性质4 保证了路径最长的情况为一红一黑，最短的情况为全黑，再结合性质5，可以推导出）。结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值的最坏情况时间都要求与树的高度成比例，这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的，而不同于普通的二叉查找树。
红黑树结构定义：
/*
* RBTree.h
*
* Created on: Sep 25, 2014
* Author: root
*/
#ifndef RBTREE_H_
# define RBTREE_H_
typedef unsigned long rbtree_key_t;
typedef long rbtree_key_int_t;
struct rbtree_node_t
{
rbtree_key_t key; //key
rbtree_node_t *left; //左子树
rbtree_node_t *right; //右子树
rbtree_node_t *parent; //父节点
unsigned char color; //颜色
};
struct rbtree_t
{
rbtree_node_t *root; //根节点
rbtree_node_t *sentinel; //哨兵
};
#endif /* RBTREE_H_ */
二、树的旋转知识
1.左旋
如上图所示：
当在某个结点pivot上，做左旋操作时，我们假设它的右孩子y不是NIL[T]，pivot可以为树内任意右孩子而不是NIL[T]的结点。
左旋以pivot到y之间的链为“支轴”进行，它使y成为该孩子树新的根，而y的左孩子b则成为pivot的右孩子。
伪代码 图解：
实现代码：
void RBTree::rbtree_left_rotate( rbtree_node_t* node_x)
{
rbtree_node_t *node_y;
rbtree_node_t **root = & m_rbtree. root;
rbtree_node_t *sentinel = m_rbtree. sentinel;
node _y = node_x-> right; //Setp 1. 设置y
node_x-> right = node_y-> left; //Step 2 .将y 的左子树变为x的右子树
if(node_y-> left != sentinel)
{
node_y-> left-> parent = node_x;
}
node_y-> parent = node_x-> parent; //Step 3. 设置y的父亲
if(node_x == *root) //空树，将y设为根
{
*root = node_y;
}
else if(node_x == node_x->parent ->left ) //x为左子树，将y放在x父节点的左子树
{
node_x-> parent-> left = node_y;
}
else //x为右子树，将y放在x父节点的右子树
{
node_x-> parent-> right = node_y;
}
node_y-> left = node_x; //Step4.将x链到y的左子树
node_x-> parent = node_y;
}
2.右旋
伪代码图解：
实现代码：
void rb_tree::rbtree_right_rotate( rbtree_node_t *node_x)
{
rbtree_node_t *node_y;
rbtree_node_t **root = & m_rbtree. root;
rbtree_node_t *sentinel = m_rbtree. sentinel;
node_y = node_x-> left; //Step 1. 设置y
node_x-> left = node_y-> right; //Step 2.将y的右子树变为x的左子树
if( node_y-> right != sentinel)
{
node_y-> right-> parent = node_x;
}
node_y-> parent = node_x-> parent;
if( node_x == *root) //Step 3.若x为根，设置y为跟
{
*root = node_y;
}
else if( node_x == node_x->parent ->right ) //x在右子树，y设置在右子树
{
node_x-> parent-> right = node_y;
}
else //x在左子树，y设置在左子树
{
node_x-> parent-> left = node_y;
}
node_y-> right = node_x; //Step 4.将x链接在y的右子树
node_x-> parent = node_y;
}
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三、红黑树的插入
红黑树的插入和 二叉树 的相似，都是如果左子树小，向左子树搜索，否则向右子树搜索，不同的红黑树插入完需要调整，恢复红黑树的特性，伪代码如下 ：
RB-INSERT(T,z)
y <- NIL[T] //Step 1.将y设置为哨兵,将x设置为根
x <- root[T]
while x!=NIL[T] //Step 2.搜索，如果z比x小，向左子树搜索，否则向右子树搜索，y插入位置
do y <- x
if key[z] < key[x]
then x <- left[x]
else x <- right[x]
p[z] <- y
if y=NIL[T] //Step 3.若为空树，z为根，
then root[T] <- z
else if key[z] < key[y] //若z比y小，z放在y的左子树
then left[y] <- z
else right[y] <- z //否则，z放在y的右子树
left[z] <- NIL[T]
right[z] <- NIL[T] //Step 4.将z左右子树设置为哨兵，颜色设置为红色
color[z] <- RED
RB-INSERT-FIXUP(T,z) //Step 5.红黑树调整
实现代码：
void RBTree::rbtree_insert( rbtree_node_t *node_z)
{
rbtree_node_t *node_y = m_rbtree. sentinel; //Step 1.将y设置为哨兵,将x设置为根
rbtree_node_t *node_x = m_rbtree.root;
if(m_rbtree.root== m_rbtree. sentinel) //若为空树，z为根，
{
node_z-> parent = NULL;
node_z-> left = m_rbtree. sentinel;
node_z-> right = m_rbtree. sentinel;
rbt_black(node_z);
m_rbtree.root = node_z;
return;
}
for(;node_x != m_rbtree.sentinel;) //Step 2.搜索，如果z比x小，向左子树搜索，否则向右子树搜索，y插入位置
{
node_y = node_x;
node_x = node_z->key - node_x->key < 0 ? node_x->left:node_x->right;
}
node_z->parent = node_y;
if(node_z->key - node_y->key < 0) //Step 3 若z比y小，z放在y的左子树
{
node_y->left = node_z;
}
else //否则，z放在y的右子树
{
node_y->right = node_z;
}
node_z-> left = m_rbtree. sentinel; //Step 4.将z左右子树设置为哨兵，颜色设置为红色
node_z-> right = m_rbtree. sentinel;
rbt_red(node_z);
//re-balance tree
rbtree_insert_fixup(node); //Step 5.红黑树调整
}
红黑树插入调整伪代码：
RB-INSERT-FIXUP(T,z)
while color[p[z]]=RED
do if p[z]=left[p[p[z]]]
then y <- right[p[p[z]]]
if color[y]=RED
then color[y] <- BLACK //情况1，z的叔叔y是红色
color[p[z]] <- BLACK
color[p[p[z]]] <- RED
z <- p[p[z]]
else if z=right[p[z]] //情况2，z的叔叔y是黑色，且z是右孩子
then z <- p[z]
LEFT-ROTATE(T,z)
color[p[z]] <- BLACK // 情况3，z的叔叔y是黑色，且z是左孩子
color[p[p[z]]] <- RED
RIGHT-ROTATE(T,p[p[z]])
else (same as then clause with “right” and “left” exchanged)
color[root[T]] <- BLACK
情况1：z的叔叔y是红色
违反性质4，z和z的父亲都是红色。
调整方法：
首先将z->p涂黑，再将z->p->p涂红，最后将y涂黑。将z->p的颜色和z->p->p的颜色对换一下，再将y涂黑，其实是把z->p->p的黑色分发到两个红色儿子结点中，而其自身变为红色，维持了性质5，即维护了所有路径黑结点数量的一致性。这里要提出的一个小细节是，红色结点变黑色不用考虑结点颜色冲突，而黑色结点变红色则要考虑结点颜色冲突，红变黑，随意变，黑变红，看冲突（不考虑性质5的前提下）。因为z->p->p是由黑色变红的，这时将z指向z->p->p，如果不出现结点颜色冲突的情况则完成修复，有颜色冲突则进入下一轮循环。
情况2：z的叔叔y是黑色，且z是右孩子
违反性质4，z和z的父亲都是红色。
调整方法：
首先也是将z->p涂黑，z->p->p涂红，这时候，我们就会发现根结点到y结点路径中的黑结点数目减少了1，我们再回顾一下前面对左旋、右旋方法的介绍，那么我们会发现，左旋、右旋的意义就在于此了：RIGHT-ROTATE(T,z->p->p)后，为根结点到y结点的路径上增加了一个黑色结点z->p，为根结点到z结点的路径上减少了一个红色结点z->p->p，一条路径增加黑色结点，另一条路径减少红色结点，insert就这样被修复了。
情况3：z的叔叔y是黑色，且z是左孩子
违反性质4，z和z的父亲都是红色。
调整方法：
将z->p涂黑，z->p->p涂红，这时候，想对红黑树进行修复的话，你会想到什么呢？和case 3一样直接RIGHT-ROTATE(T,z->p->p)么，如果直接RIGHT-ROTATE(T,z->p->p)的话，红色结点z将变成红色结点z->p->p的左儿子，其实是做了无用功。那我们就想办法把它变成case 3的那种形式吧，LEFT-ROTATE(T,z)，很容易想到吧，LEFT-ROTATE(T,z)之后z，z->p，z->p->p又变成了我们喜闻乐见的三点一线的形式，也就是case 3。
实现代码：
void RBTree::rbtree_insert_fixup( rbtree_node_t *node_z)
{
rbtree_node_t **root = & m_rbtree. root;
rbtree_node_t *node_y;
while( node_z != *root && rbt_is_red(node_z-> parent))
{
if(node_z-> parent == node_z->parent->parent->left)
{
node_y = node_z->parent->parent->right;
//case1:z的叔叔y是红色
if(rbt_is_red(node_y))
{
rbt_black( node_z->parent);
rbt_black(node_y);
rbt_red( node_z->parent->parent);
node_z = node_z ->parent ->parent ;
}
else
{
//case2:z的叔叔y是黑色，且z是右孩子
if(node_z == node_z->parent->right)
{
node_z = node_z ->parent ;
rbtree_left_rotate( node_z);
}
rbt_black( node_z->parent);
rbt_red( node_z->parent->parent);
rbtree_right_rotate( node_z);
}
}
else
{
node_y = node_z->parent->parent->left;
//case1:z的叔叔y是红色
if(rbt_is_red(node_y))
{
rbt_black( node_z->parent);
rbt_black(node_y);
rbt_red( node_z->parent->parent);
node_z = node_z ->parent ->parent ;
}
else
{
//case2:z的叔叔y是黑色，且z是左孩子
if(node_z == node_z->parent->left)
{
node_z =node_z ->parent ;
rbtree_right_rotate( node_z);
}
rbt_black( node_z->parent);
rbt_red( node_z->parent->parent);
rbtree_left_rotate( node_z->parent->parent);
}
}
}
rbt_black(*root);
}
四、红黑树的删除
删除的节点按照儿子的个数可以分为三种：
- 没有儿子，即为叶结点。直接把父结点的对应儿子指针设为NULL，删除儿子结点就OK了。
- 只有一个儿子。那么把父结点的相应儿子指针指向儿子的独生子，删除儿子结点也OK了。
- 有两个儿子。这是最麻烦的情况，因为你删除节点之后，还要保证满足搜索二叉树的结构。其实也比较容易，我们可以选择左儿子中的最大元素或者右儿子中的最小元素放到待删除节点的位置，就可以保证结构的不变。当然，你要记得调整子树，毕竟又出现了节点删除。习惯上大家选择左儿子中的最大元素，其实选择右儿子的最小元素也一样，没有任何差别，只是人们习惯从左向右。这里咱们也选择左儿子的最大元素，将它放到待删结点的位置。左儿子的最大元素其实很好找，只要顺着左儿子不断的去搜索右子树就可以了，直到找到一个没有右子树的结点。那就是最大的了。
OK，回到红黑树上来。算法导论一书，给的红黑树结点删除的算法实现是：
RB-DELETE(T, z)
if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T] //没有或者有一个儿子
then y ← z
else y ← TREE-SUCCESSOR(z) //有两个儿子，取左子树的最大节点或右子树的最小节点
if left[y] ≠ nil[T]
then x ← left[y]
else x ← right[y]
p[x] ← p[y]
if p[y] = nil[T] //要删除的为根角点，则直接用x替代根节点
then root[T] ← x
else if y = left[p[y]] //要删除的节点在左子树，则x放在在左子树
then left[p[y]] ← x
else right[p[y]] ← x //要删除的节点在右子树，则x放在在右子树
if y ≠ z //z有两个儿子
then key[z] ← key[y] //将y的数据给z，实际上是删除的右子树的最小节点，然后把这个节点的数据拷到了z的位置
copy y's satellite data into z
if color[y] = BLACK //设置y的颜色为黑色
then RB-DELETE-FIXUP(T, x)
return y
实现代码：
void RBTree::rbtree_delete( rbtree_node_t *node_z)
{
rbtree_node_t **root =& m_rbtree. root;
rbtree_node_t *sentinel = m_rbtree. sentinel;
rbtree_node_t *node_y; //the node to replace node_z
rbtree_node_t *node_x; //node_y's child
bool is_node_y_red = false;
if(node_z-> left == sentinel)
{
node_x = node_z-> right;
node_y = node_z;
}
else if(node_z->right == sentinel)
{
node_x = node_z-> left;
node_y = node_z;
}
else
{
node_y = rbtree_min(node_z-> right);
if(node_y->left != sentinel)
{
node_x = node_y-> left;
}
else
{
node_x = node_y-> right;
}
}
//the node to delete is root
if(node_y == *root)
{
*root = node_x;
rbt_black(node_x);
node_z->left = NULL;
node_z->right = NULL;
node_z->parent = NULL;
node_z->key = 0;
return;
}
is_node_y_red = rbt_is_red(node_y);
//Link node_y's child node_x to node_y's parent
if(node_y == node_y-> parent-> left)
{
node_y-> parent-> left = node_x;
}
else
{
node_y-> parent-> right = node_x;
}
if(node_y == node_z)
{
node_x-> parent = node_y-> parent;
}
else
{
if(node_y->parent == node_z)
{
node_x-> parent = node_y;
}
else
{
node_x-> parent = node_y-> parent;
}
//replace node_z with node_y,include color,so the place of node_z is not change
node_y-> left = node_z-> left;
node_y-> right = node_z-> right;
node_y-> parent = node_z-> parent;
rbt_copy_color(node_y,node_z);
//the node to delete is root
if( node_z == *root)
{
*root = node_y;
}
else
{
if(node_z == node_z->parent ->left )
{
node_z-> parent-> left = node_y;
}
else
{
node_z-> parent-> right = node_y;
}
}
if(node_z->left != sentinel)
{
node_y-> left-> parent = node_y;
}
if(node_z->right != sentinel)
{
node_y-> right-> parent = node_y;
}
}
node_z->left = NULL;
node_z->right = NULL;
node_z->parent = NULL;
node_z->key = 0;
//if node_y is a black node,the action move node_y to replace node_z change the struct of rbtree
if(!is_node_y_red)
{
rbtree_delete_fixup(node_x);
}
}
红黑树删除调整伪代码：
while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK
do if x = left[p[x]]
then w ← right[p[x]]
if color[w] = RED
then color[w] ← BLACK // Case 1
color[p[x]] ← RED // Case 1
LEFT-ROTATE(T, p[x]) // Case 1
w ← right[p[x]] // Case 1
if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK
then color[w] ← RED //Case 2
x ← p[x] //Case 2
else if color[right[w]] = BLACK
then color[left[w]] ← BLACK //Case 3
color[w] ← RED //Case 3
RIGHT-ROTATE(T, w) //Case 3
w ← right[p[x]] //Case 3
color[w] ← color[p[x]] //Case 4
color[p[x]] ← BLACK //Case 4
color[right[w]] ← BLACK //Case 4
LEFT-ROTATE(T, p[x]) //Case 4
x ← root[T] //Case 4
else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)
color[x] ← BLACK
情况1：x的兄弟w是红色的
这时，将w涂黑，将x->p涂红，然后进行左旋，得到的以w为结点的红黑树如下：
进行变形之后不会改变每条路径的黑色结点数目，这时将w重新做指向，令w=x->p->right，这样w变成了黑色结点，在下一轮循环时可能进入case 2、3、4。
情况2：x的兄弟w是黑色的，而w的两个儿子都是黑色
这时，将w涂红，root结点到x->p为根子树的每个叶子结点的路径将比其他路径少的黑结点数目少1，将x->p设为x，若x为红结点，将其涂黑即可成功修复二叉树；若x为黑结点，即进入下一轮循环，可能出现case 1、2、3、4。如果连续出现的是case 2其结果就相当于最后在除root到最初的x结点的每条路径上减少一个黑色结点，直到x为root结点，结束循环。
情况3：x的兄弟w是黑色的，而w的左孩子为红色，右孩子为黑色
这时候我们应该想如何将case 3变为case 4中的那种形式，还要维持红黑树的性质，我们看到w->left是红色，那么我们就将其涂黑，然后将w涂红，再对w进行右旋，得到：
变为case 4的那种形式，即可进入case 4对红黑树进行修复操作。
情况4：x的兄弟w是黑色的，而w的左孩子为黑色，右孩子为红色
路径root到x的黑结点数少1，这时候我们调换x->p和w的颜色，并将w->right涂黑，再进行一次左旋得到下面的红黑树：
可以发现，得到的红黑树对RB-DELETE操作成功进行了修复，所以说以x->p为根结点的子树不满足这一形式时，应该通过一定的变形和一定数目结点颜色的改变，来满足这一形式。
case之间的状态转移如下：
|
状态 |
可转化为的状态 |
|
Case 1 |
Case 2，3，4 |
|
Case 2 |
Case 1，2，3，4，修复（只有case 2是将x上移，因此case 2可能会终于于x=root） |
|
Case 3 |
Case 4 |
|
Case 4 |
修复 |
void RBTree::rbtree_delete_fixup( rbtree_node_t *node_x)
{
rbtree_node_t **root =& m_rbtree. root;
rbtree_node_t *node_w;
while( node_x != *root && rbt_is_black(node_x))
{
if(node_x == node_x->parent ->left )
{
node_w = node_x-> parent-> right;
//case1:node_x's brother node_w is red
if(rbt_is_red(node_w))
{
rbt_black(node_w);
rbt_red(node_x-> parent);
rbtree_left_rotate(node_x-> parent);
node_w = node_x-> parent-> right;
}
//case2:node_x's brother node_w is black,both child of node_w is black
if(rbt_is_black(node_w->left ) && rbt_is_black(node_w->right ))
{
rbt_red(node_w);
node_x = node_x-> parent;
}
else
{
//case3:node_x's brother node_w is black,node_w's left child is red,
//node_w's right child is black
if(rbt_is_black(node_w->right ))
{
rbt_black(node_w-> left);
rbt_red(node_w);
rbtree_right_rotate(node_w);
node_w = node_x-> parent-> right;
}
//case4:node_x's brother node_w is black,node_w's right child is red
rbt_copy_color(node_w,node_x-> parent);
rbt_black(node_x-> parent);
rbt_black(node_w-> right);
rbtree_left_rotate(node_x-> parent);
//break while running
node_x = *root;
}
}
else
{
node_w = node_x-> parent-> left;
//case1:node_x's brother node_w is red
if(rbt_is_red(node_w))
{
rbt_black(node_w);
rbt_red(node_x-> parent);
rbtree_right_rotate(node_x-> parent);
node_w = node_x-> parent-> left;
}
//case2:node_x's brother node_w is black,both child of node_w is black
if(rbt_is_black(node_w->left ) && rbt_is_black(node_w->right ))
{
rbt_red(node_w);
node_x = node_x-> parent;
}
else
{
//case3:node_x's brother node_w is black,node_w's left child is black,
//node_w's right child is red
if(rbt_is_black(node_w->left ))
{
rbt_black(node_w-> right);
rbt_red(node_w);
rbtree_left_rotate(node_w);
node_w = node_x-> parent-> left;
}
//case4:node_x's brother node_w is black,node_w's left child is red
rbt_copy_color(node_w,node_x-> parent);
rbt_black(node_x-> parent);
rbt_black(node_w-> left);
rbtree_left_rotate(node_x-> parent);
//break while running
node_x = *root;
}
}
}
rbt_black(node_x);
}
